Algorithmische Zahlentheorie by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3658065397

ISBN-13: 9783658065393

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der shape p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem machine oder laptop auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen obtain zur Verfügung steht.

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X ≡ 0 in Z/mZ. Der oben angegebene Beweis der Surjektivit¨at hat aber den Vorteil, dass er gleichzeitig eine Konstruktion f¨ ur die Umkehrabbildung von φ liefert. 7. Corollar. Sei m > 1 eine nat¨ urliche Zahl und m = pk11 ·. ·pkr r die Primfaktorr Zerlegung von m. Dann ist der Ring Z/mZ isomorph zum Produkt i=1 Z/pki i Z. Der chinesische Restsatz f¨ uhrt also die Struktur der Ringe Z/mZ auf die Struktur der Restklassenringe von Z modulo Primzahlpotenzen zur¨ uck. Allgemeiner wird bei einer Zerlegung m = m1 m2 .

S¨amtliche Primelemente von Z haben die Gestalt ±p, wobei p die Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, . } durchl¨auft. Die Zahl 1 ist keine Primzahl, da definitionsgem¨aß ein Primelement immer eine Nicht-Einheit ist. © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 O. 1007/978-3-658-06540-9_5 § 5 Primfaktor-Zerlegung 33 Bemerkung. 2 b) kann die Voraussetzung, dass R Hauptidealring ist, nicht weggelassen werden, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt: Sei √ √ R := Z[ −3] = {n + m −3 : n, m ∈ Z} ⊂ C. In diesem Ring ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim, denn es gilt √ √ 2 | 4 = (1 + −3)(1 − −3), √ ¨ liefert dieser Ring auch ein aber 2 teilt keinen der Faktoren 1 ± −3.

Das Element x ∈ Z/pZ besitzt ein Inverses. Bezeichnung. F¨ ur eine Primzahl p wird der K¨orper Z/pZ auch mit Fp bezeichnet. (Die Bezeichnung F kommt von engl. field). Eine andere oft gebrauchte Bezeichnung ´ Galois). ist GF (p) (Galois-Feld, nach E. Wir untersuchen jetzt den Fall, dass m keine Primzahl ist. Es wird sich zeigen, dass eine Zerlegung von m als Produkt teilerfremder Faktoren eine Zerlegung des § 6 Der Restklassenring Z/mZ 46 Ringes Z/mZ nach sich zieht. Dazu f¨ uhren wir zun¨achst den Begriff des direkten Produkts von Ringen ein.

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by Charles
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